一阶电路的零状态响应 -凯发官网入口

                        
在动态元件初始储能为 0 的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。显然，这一响应与输入形式有关。 
最简单最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。 

1、rc 电路的零状态响应
如图，在 t ＝ 0 时刻，开关闭合，问 i 、u r 、 u c 如何变化？ 

物理过程分析： 
根据以前知识，uc ( 0+ )＝uc ( 0－ )＝u c ( 0 )＝0 。这就是说，在 t＝0 时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在 r上，那么电流 i (0 + )＝u 0 / r 。但是，电流一经流动，必然在电容极板上产生电荷堆积，q＝cu c > 0。然而，总电压 u0 不变，r 上压降必然减小，从而电流 i ＝ ur/r 减小 …… 。最终，uc →u0，i →0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。 
数学求解： 
t > 0


这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。作如下代换后，求解：

结论：uc 随时间呈指数增长，最终趋于 uc。而 ur 则相反， uc ＋ ur ＝ u0 。电流 i(t) 从 u0 / r开始衰减，最终趋于0，快慢取决于 τ。 
特别注意： 在整个充电过程中，电源提供的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系：


使人惊奇的是：不论 c 和 r 的取值有多大，充电过程中，电源提供的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被 r 消耗掉了，即充电效率仅有50％。 

2、rl 电路的零状态响应
如图，在 t ＝ 0 时刻，开关闭合，直流电压源加于电路。问 i 、u r 、 u l 随时间如何变化？ 

物理过程分析： 
根据以前知识，在有限电压前提下，电流不能跃变，i ( 0+ ) ＝ i ( 0－ )＝ i ( 0 ) ＝ 0 。也即： 

u r( 0 + ) ＝ r i ( 0 + )＝ 0 
此刻， u 0 全部降落在 l 上，即： 

u l( 0+ ) = u0 
换句话说，l 相当于开路 。 
但是，电流一经流动，必然在 r 上产生压降，总电压 u0不变，故 l 上压降必然减小。 
最终，电流趋于最大值 u 0 / r ，u 0 全部降在 r 上，u l → 0 ，此时，电感相当于短路。电路达到另外一个稳态。 
数学求解 t > 0 的电路响应： 


运用高等数学中求解一阶线性非齐次方程的一种方法，先求得相应齐次方程的通解：


在 0～∞时间内，l 储备的磁能：